あすら日記 - バテン某動画

この考察の目的

I→II→・・・→VIとカードを引いていくとき、
何組引けば、ボイスの「対」が出来るのに十分かを調べる。

手っ取り早く答えだけを知りたい場合は、まとめへ直行してください。

基本情報

・ボイスはI～VIまでの6種類ある。
・それぞれのボイスマグナスにつき、2種類の声が入る。
・つまり、ボイスは各キャラごとに12種類。
・2種類のボイスのうち、どちらが出るかはランダムと思う。
　出る確率は等しいとは限らない（実際に、出にくいボイス出やすいボイスがありました）

補足・注意点

対がひとつでも形成された瞬間、試行は終了する。
つまり、以後は全て「それまでに対がひとつも形成されていない」ことを前提として議論する。

2種類あるボイスは、AとBにより区別する。
これは例示であるため、いずれがAでいずれがBか、などは具体的に指定しない。
「ABAAAA」という表記は、ボイスIでAを、ボイスIIでBを、（中略）、それぞれ引いたことを意味する。

「試行」とは、ボイスI～VIを連続で順に引くことを指す。
　あるいは、これを有限回繰り返したものも指すことがある。

「ボイス組」とは、6枚のボイスを引いたときの組み合わせを指す。

「対」とは、2つの「ボイス組」の組のうち、12種類全てのボイスを含むものを指す。

「k回目の試行までに」とは、k回目の試行も含む。

計算の簡略化のため、
・AorBを引く確率は、全て同等（50％）とする。
・ボイス組が被った（つまり6つのボイスが全て同じだった）状況は無視する。

例えば、2回目の試行で「AABAAB」を引き、
その後11回目試行においても「AABAAB」を引いた場合、
この11回目の試行は「なかったこと」とし、次の試行は11回目の試行となる。

既に引いたボイス組を引く可能性が無くなるのではなく、
あくまで「被ったら、試行そのものを取り消す」ということに注意して欲しい。
言い換えると、試行を何回行っても、既に引いたボイス組を再び引く可能性は残る。

考察1 : 基礎情報

ボイスをI～VIまで連続で引いたときの、全てのボイスの組み合わせは
2^6 = 64通り　あります。

試行を1回行い、ボイス組「AABBBA」を引いたとすると、
これの対となるボイス組は「BBAAAB」。
64通りある引き方から、たったひとつのボイス組を引く確率は 1/64 ですから、
（被ったものを排除する前提ならば、「AABBBA」を除いた 1/63。
　ただし、ややこしくなるのを避けるため、この時の分母は以後64で固定します）
2回目の試行で「対」が形成される確率は 1/64。

試行を2回行い、対を形成しないボイス組2つを引いたとき、
3回目の試行で対が形成される確率は、2/64 = 1/32。

・・・

一般に、試行を n 回行い（n≦32）、対を形成しないボイス組 n 個を引いたとき
n+1 回目の試行で対が形成される確率は、n/64。

※nが33以上のときは、32/64 = 1/2 の確率で確実に対が形成され、
残る 1/2 の確率で、それまでに引いたものと被るボイス組が手に入る。
ちなみに、今回の試行の性質上、nは34以上にはなりません。

考察2 : 形成された対の個数の期待値

n+1 回目の試行で対が形成される確率が n/64 だったので、
この時の試行で形成された「対」の個数の期待値は、

Σ[1≦i≦n] i/64

となります。
単純に、(1+2+3+・・・+n)/64 と同じ値です。

参考程度に、以下の具体例を出しておく。
重ねて述べますが、ボイス組が被った場合は、そのときの試行は無かったことになります。

・n = 11のとき（つまり12回目の試行の際）までに出来る対の個数は、
66/64 、およそ1。

つまり、12回目の試行までに、1つの対が完成することが期待されます。

※被ったボイス組を引く個数の期待値も、これと全く同じ計算です。
これより「12回目までに、1つの被るボイス組を引くことが期待される」ため、
これを考慮して補正すれば、13回目の試行までに・・・となります。

・n = 19のときまでに出来る対の個数は、およそ3。
20回目の試行までに、3つの対が完成することが期待されますが、
「既に出来た対」のことは考慮していないため、この値は厳密性に欠けます。

考察3 : 対ができない確率

n+1 回目の試行で対が形成される確率が n/64 であることから、
この時に対が作られない確率は、「1 - n/64」となります。

例えば、2回目の試行で対が形成されない確率は、63/64 です。
（複雑化を避けるため、余計な要素は除いてあります。
　たとえば、2回目は「1回目」と同じボイス組を引くことはないので
　本来は 62/64になるべき）

例えば、3回目の試行で対が形成されない確率は、62/64 です。
例えば、4回目の試行で対が形成されない確率は、61/64 です。


次に、n+1 回目の試行までに対が形成されない確率を考えます。

これの計算も単純で（というか強引に単純化しました）、
n+1 回目の試行までに対が形成されない確率Pは、

P = Π[1≦i≦n] (64-i)/64

となります。
これは、 63/64 * 62/64 * ・・・ * (64-n)/64 と同じ値です。

具体例として、以下を挙げます。

・n=10、つまり11回目の試行までに対が出来ない確率は 47.7％

・n=20、つまり21回目の試行までに対が出来ない確率は 3.6％

被ったボイス組を引く可能性を考えると、
試行の回数は1～3程度増加するでしょう。

つまり、12回目の試行までに対が出来ない確率こそ、47.7% とも言えるわけです。

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ついでに、n+1回目ちょうどに対が形成される確率は、
上の結果を基にすると、

1 - P

となります。

まとめ

1つのボイス組の対をつくるには、平均13回の試行が必要と分かりました。
正しくは、13回目の試行までに、1つの対が完成することが期待されます。

また、13回目の試行までに、対がひとつも完成しない確率は、およそ 1/2 です。

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ついでですが、今回、ギバリは（被りを除いて）24回の試行をしました。

24回目の試行までに、対がひとつも出来ない確率は 0.7%であることを考えると
これって、ものすごいハズレ連発を引かなきゃありえない事態ですよね・・・。
（計算に誤差があったとしても、十分に低い値だのう(´・ω・`)

いや、これ絶対何かの間違いだろｗ

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